函数的单调性与奇偶性

　【基本知识点】

　一、函数的单调性
　　初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。

　　那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?
　　1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：
　　在定义域内的某个区间上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，若都有f(x₁)＜f(x₂)，则称f(x)是单调增函数；
　　在定义域内的某个区间上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，若都有f(x₁)＞f(x₂)，则称f(x)是单调减函数；
　　若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。

　　理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。

　　注：
　　(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。
　　(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。

　　比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。我们把
(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。
　　如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。
　　若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。
2．复合函数的单调性
　　(1) 若函数t＝g(x)在区间A上是增函数，且在A上的值域为B，函数y＝f(t)在区间B上是增函数，则复合函数
y＝f[g(x)]在区间A上是增函数；

　　(2) 若函数t＝g(x)在区间A上是增函数，且在A上的值域为B，函数y＝f(t)在区间B上是减函数，则复合函数
y＝f[g(x)]在区间A上是减函数；

　　(3) 若函数t＝g(x)在区间A上是减函数，且在A上的值域为B，函数y＝f(t)在区间B上是增函数，则复合函数
y＝f[g(x)]在区间A上是减函数；

　　(4) 若函数t＝g(x)在区间A上是减函数，且在A上的值域为B，函数y＝f(t)在区间B上是减函数，则复合函数
y＝f[g(x)]在区间A上是增函数；

　　结论：“同增异减”

　二、函数的奇偶性
　　函数y＝x的图象是关于原点对称的，我们称之为奇函数；y＝x²的图象是关于y轴对称的，我们称之为偶函数。
　　那么用符号语言如何对这个特征进行概括呢?
　　如果点(x，y)是函数y＝f(x)的图象上任一点，那么当图象关于原点对称时，点(-x，-y)也在该图象上，即
f(-x)＝-f(x)；当图象关于y轴对称时，点(-x，y)也在该图象上，即f(-x)＝f(x)。

　　1．定义：一般地，如果对于函数y＝f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝-f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做奇函数；如果对于函数y＝f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做偶函数。

　　理解：
　　(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；
　　(2)刻画了f(x)随x的变化的特征；
　　(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

　　2．性质：奇函数函数的图象关于原点对称；
　　偶函数函数的图象关于y轴对称。
　　应用这一点可以：
　　(1)方便作函数图象：先作出x≥0的部分，由对称性可简捷地作出x＜0的部分；
　　(2)方便对函数性质的研究：先研究x≥0的性质，由对称性立刻可以得到x＜0时的性质。如f(x)在R上是偶函数，当x≥0时，f(x)是增函数，则在x＜0时，f(x)就是减函数。

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